Operações com vectores

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Adição e subtracção: Forças resultantes.

Embora possamos falar de subtracção de vectores, na verdade, subtrair um vector é o mesmo que somar um vector igual e de sentido inverso. Por isso vamos focar a nossa atenção na soma de vectores.

Quando duas pessoas se colocam em faces sucessivas de um cubo e empurram com a mesma força, o cubo move-se segundo a direcção de uma das suas diagonais, no entanto, a força que resulta da acção das duas pessoas não é tão eficaz como seria o caso destas estarem a empurrar o cubo no mesmo vértice ou na mesma face.

Exemplo de duas pessoas a empurrar um cubo
A resultante (a vermelho) de duas pessoas
a empurrar um cubo em faces sucessivas é menor em intensidade que a
resultante de duas pessoas a empurrar o cubo pela mesma face.

A soma de dois vectores permite prever o efeito de duas ou mais quantidade vectoriais, quer estas ocorram em simultâneo, quer se sucedam no tempo.

A regra do paralelogramo.

Num diagrama de forças, podemos somar duas forças, se projectarmos uma delas de tal forma a que tenham o mesmo ponto de aplicação. O resto do procedimento (esquematizado na figura abaixo) é bastante simples.

Soma de vectores pela regra do paralelogramo.

Como podemos ver, começa-se por aplicar ambos os vectores no mesmo ponto. Depois traçam-se paralelas a cada um dos vectores (a tracejado), de forma a forma um paralelogramo (sombreado). O vector soma é o vector aplicado no mesmo ponto de aplicação que os dois vectores que somamos, e que termina no canto oposto do paralelogramo.

A regra do paralelogramo é muito útil, pois permite uma visualização directa da resultante. No entanto, raramente dá valores imediatos que possam ser usados em equações. Além disso, e apesar de ser possível, a soma de vários vectores acaba por ser um trabalho entediante e visualmente confuso (muitas sobreposições de rectas e vectores). Para além disso, o método é muito confuso no espaço, já que temos que constantemente fazer adaptações à perspectiva.

Soma e subtracção dos componentes.

A soma de vectores usando os seus componentes é um processo mais fácil e limpo: Basta somar componente a componente.

Por exemplo, vamos calcular a força de resultante de duas forças: uma das forças é dada por 23i + 12j (N), e a outra é dada por -12i +3j (N), em que i e j são os versores do eixo dos xx e do eixo dos yy, respectivamente. A força resultante é dada pela soma, componente a componente das duas forças.

F = 23i + (-12)i + 12j +3j = (23-12)i + (12+3)j = 11i + 15j

Ao usar este método, podemos trabalhar facilmente com três ou mais dimensões, aplicar os resultados directamente em fórmulas matemáticas e somar vários vectores ao mesmo tempo. O lado menos bom desta forma de somar é que a visualização do resultado final não é tão imediata como na regra do paralelogramo.

Multiplicação por um número real: Momento Linear

Multiplicar um vector por um número real é uma operação que afecta o módulo e, eventualmente, o sentido do vector, preservando, a direcção e o ponto de aplicação.

Multiplicar um vector por zero (0) devolve o vector nulo.

Multiplicar um vector por 1 deixa o vector inalterado. Multiplicar o vector por -1 resulta num vector com o mesmo ponto de aplicação, direcção e módulo, mas com sentido oposto ao original. Diz-se que este vector é o simétrico do vector original.

Sempre que se multiplica um vector por um número negativo, o vector inverte o seu sentido. De resto, a multiplicação de um vector por um real, altera apenas o seu módulo.

Podemos verificar isso, calculando o momento linear de uma bola de ténis (com massa de 100 g), num instante em que a sua velocidade é dada por 45i + 2j (m/s). O momento linear, ou quantidade de movimento, é dado pela fórmula:

\(\vec{p} = m \vec{v}\)

Em que a massa vem em quilogramas, a velocidade em metros por segundo e o momento linear em quilogramas metro por segundo. O momento linear da nossa bola é então dado por

contas

Como podemos ver, 2/45 = (0.2)/(4.5), pelo que os vectores partilham a mesma inclinação (as rectas onde se incluem têm o mesmo declive).

Produto escalar: O trabalho de uma força.

O produto escalar de uma força é uma forma de multiplicação entre dois vectores que devolve um escalar (um número real). Provavelmente será a operação entre dois vectores que mais se assemelha à multiplicação entre dois números reais.

O produto escalar entre dois vectores é dado por:

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vert\vert \vec{a} \vert\vert \times \vert\vert \vec{b} \vert\vert \times \cos \alpha\)

em que α é o ângulo formado entre os dois vectores.

Por exemplo, suponhamos que um bloco de madeira se move 25 m na horizontal, puxado por uma força com intensidade de 2 N que faz um ângulo de 20º com a horizontal. O trabalho realizado ela força é dado pelo produto escalar desta pelo deslocamento provocado. Então:

W = 25 x 2 x cos (20º) = 47,0 J

O trabalho resultante é de 47,0 J.

Ora, nem sempre é fácil determinar o ângulo formado entre dois vectores. Por isso, desde que se conheçam os componentes de ambos os vectores, podemos calcular o seu produto escalar, multiplicando-os, componente a componente, e somando os componentes do produto resultante.

Para ilustrar este procedimento, voltamos a calcular o trabalho de uma força dada por -10i + 23j (N) que, aplicada numa pedra, provoca o seu deslocamento descrito pelo vector 2i + 3j (m). O trabalho, é dado por:

W = (-10i + 23j).(2i + 3j) = (-10)x2 + 23 x 3 = -20 + 69 = -49 J

O trabalho efectuado é de -49 J. Em física, um valor negativo para o trabalho de uma força significa que esta efectuou trabalho resistente, ou seja, dificultou o movimento.

Produto vectorial: Torques.

O produto vectorial é uma operação que é normalmente feita entre dois vectores no espaço (é difícil definir esta operação para um número de dimensões diferente de três), e cujo resultado é outro vector. O facto de termos dois tipos de produtos ente vectores, faz com que a notação da multiplicação de vectores seja mais rigorosa que a de números reais. Assim, o produto escalar entre dois vectores escreve-se colocando um ponto (.) entre os dois, ao passo que o produto vectorial é feito colocando um sinal de multiplicação (x) ou um ^ entre os dois vecotres.

Apesar de não ser vulgar nos cursos introdutórios de física, o produto escalar desempenha um papel importante no estudo da rotação dos corpos, incluindo o estudo das alavancas. Na verdade, se aplicarmos uma força num corpo, mas não no seu centro de massa (por exemplo, quando arrastamos uma máquina de calcular por um dos seus cantos), este quase não desloca o seu centro de massa, mas antes roda em torno dele. Essa rotação existe por causa (e pode ser estudada a partir) do seu torque.

Rotação de um corpo
Quando uma força é aplicada e a sua linha de acção não passa pelo centro de massa de um corpo
gera-se um torque responsável pela rotação do mesmo.

O torque (τ) é dado pelo produto escalar entre uma força e o seu vector posição relativa ao centro de massa. Podemos calcular o seu módulo usando uma expressão muito semehante à do produto escalar:

\( \vert\vert \vec{a} \land \vec{b} \vert\vert =  \vert\vert \vec{a} \vert\vert \times \vert\vert \vec{b} \vert\vert \times \sin \alpha\)

onde α é o ângulo formado entre os dois vectores.

A operação que permite efectivamente obter o produto escalar entre dois vectores passa por fazer o determinande de uma matriz. Vamos convencionar que i, j e k são os versores dos eixos dos xx, yy e zz, respectivamente.

Vamos calcular o torque causado por uma força -2i + 3j -2k que está aplicada num ponto, cuja posição ao centro de massa é dada pelo vector 4i -2j + 2k.

O primeiro passo é escrever uma matriz três por três. Na primeira linha colocamos os versores do referencial (i, j e k). Na segunda linha colocamos as componentes da força (-2; 3; -2). Na terceira linha colocamos as componentes do vector posição (4; -2; 2).

i j k
-2 3 -2
4 -2 2

O determinante é feito da seguinte maneira:

i x ((3*2)-((-2)x(-2))) + j x (((-2)x 2) - ((-2)x4)) + k x (((-2)x(-2)) - (3 x 4))

O torque do sistema é então 2i +4j -8k.