Vectores em física

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Conteúdos

Grandezas escalares e vectoriais.
Características de um vector.
Componentes de um vector.
Exemplo 1: Decompor um vector.
Exemplo 2: Caracterizar um vector.

Grandezas escalares e vectoriais.

Em física, trabalha-se com dois tipos de grandezas. Como é do senso comum, algumas grandezas podem ser totalmente determinadas por um valor: por exemplo, a massa do meu lápis é de 25 g, o comprimento de um objecto é 15 cm, quer este seja medido da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita. Estas grandezas são chamadas de grandezas escalares, e podem ser expressas como uma quantidade multiplicada por uma unidade, por exemplo:

25 mm = 25 x 1 mm

Esta operação pode parecer demasiado básica, mas é extremamente importante para fazer conversões entre unidades compostas. Para além disso, e desde que as unidades concordem, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir estas quantidades como o faríamos com qualquer número real.

Existem, no entanto, outras grandezas, que não ficam totalmente descritas se lhes atribuirmos apenas um valor numérico. Por exemplo, o deslocamento, pressupõe um início e um fim. Para uma pessoa que esteja num determinado ponto de partida, importa saber se o seu objecto de observação se desloca para norte ou para sul, sob pena de ficar a olhar para o lado errado. Noutros casos, importa também saber saber de onde veio ou que direcção tomou. Estas informações não são dadas por um único número real.

Todas as grandezas que perdem informação se forem reduzidas a um mero número real são expressas por vectores, e dizem-se grandezas vectoriais. Graficamente são representadas por vectores, que começam no ponto onde a grandeza se encontra aplicada, e tomam no gráfico a direcção e o sentido da grandeza. O comprimento do vector é proporcional ao valor numérico da grandeza, o que requer, por vezes, que diversas escalas coexistam num mesmo diagrama.

São exemplos de grandezas vectoriais a posição, o deslocamento, a velocidade, a aceleração, a força, o momento linear, o impulso, entre outras.

Características de um vector.

Um vector, é um segmento de recta orientado. Normalmente, ele é caracterizado, respondendo a quatro questões:

Onde começa?
Como se orienta?
Para onde vai?
Qual o seu comprimento?

Estas questões respondem-se caracterizando o vector em termos de ponto de aplicação, direcção, sentido e módulo, ou intensidade.

O ponto de aplicação é o ponto onde a grandeza vectorial se encontra aplicada. Normalmente este ponto de aplicação é o centro de massa do corpo, mas pode ser aplicado em qualquer outro ponto, dando origem a movimentos de rotação.

A direcção é a linha ao longo da qual o vector se encontra. A descrição desta característica é bastante subjectiva, e depende do problema em causa. Por exemplo, um diagrama da velocidade de um navio, pode indicar que o vector velocidade tem a direcção Norte-Sul. Num diagrama de queda de um corpo, podemos dizer que o peso do corpo tem a direcção vertical.

O sentido é a orientação que o vector toma. Por exemplo, podemos dizer que o navio se desloca de sul para norte, que o peso aponta para baixo, ou que uma formiga se movimenta no sentido positivo do eixo dos xx de um referencial.

A intensidade, ou módulo, é o comprimento do vector, e confunde-se com o valor numérico da força, velocidade, aceleração ou momento linear. Assim, num diagrama de forças onde um centímetro corresponde a 2 N, uma força de 10 N será representada por um vector com comprimento 5 cm.

Componentes de um vector.

Consideremos um vector aplicado na origem de um referencial. Qualquer que seja a sua direcção, ele forma um ângulo α com a horizontal. Se traçarmos paralelas aos eixos dos yy e dos xx que passem pela ponta do vector, obtemos um rectângulo, do qual o vector é a sua diagonal. Como está evidenciado, esta diagonal é também a hipotenusa de um triângulo rectângulo, em que o cateto adjacente a α é tanto maior quanto mais horizontal estiver o vector, e o cateto oposto é tanto maior quanto mais vertical for o vector.

Podemos então dizer que o cateto adjacente é a projecção do vector no eixo dos xx, e que o cateto oposto é a projecção do vector no eixo dos yy. Ou então, que são, respectivamente, as componentes horizontal e vertical do vector.

Se considerarmos os versores i e j dos eixos de xx e yy, respectivamente, podemos decompor o nosso vector em duas componentes. Para isso, vamos aplicar as definições de seno e cosseno.

O vector do qual começamos, é a soma vectorial dos seus dois componentes, como podemos ver na imagem acima.

Regra geral, decompor um vector nas suas componentes facilita a compreensão dos fenómenos, já que podemos tratar as componentes horizontais e verticais de forma independente.

Exemplo 1: Decompor um vector.

Um bloco de madeira é puxado por uma força de 20 N, aplicada no seu centro de massa, que faz um ângulo de 25º com a parte positiva do eixo dos xx.

Em primeiro lugar, vamos colocar o centro de massa do bloco no centro do nosso referencial. A componente da força segundo o eixo dos xx - componente horizontal - é dada por

$\vec{F}_x = 6 \times \cos 25º \times \hat{i} = 5,44 \hat{i} (N)$

A componente da força segundo o eixo dos yy - componente vertical - é dada por

$\vec{F}_y = 6 \times \sin 25º \times \hat{j} = 2,54 \hat{j} (N)$

Podemos então dizer que a força é

$\vec{F} = 5,44 \hat{i} + 5,54 \hat{j}$

Exemplo 2: Caracterizar um vector.

Caracterize a velocidade de um corpo, cuja velocidade é dada por:

$\vec{v} = 2,24 \hat{i} - 1,24 \hat{j} (m/s)$

O vector velocidade de um corpo, por definição, encontra-se sempre aplicado no eu centro de massa. Podemos então desenhar o nosso vector velocidade a partir das suas componentes, no diagrama seguinte:

Como podemos ver, o nosso vector velocidade encontra-se sobre a recta de declive - 1,24/2,24. Podemos então dizer que tem a direcção da recta y = -0,55x. E, como aponta para baixo, podemos dizer que o seu sentido é da direita para a esquerda e de cima para baixo.

O módulo do vector é o valor da hipotenusa do triângulo rectângulo formado pelo vector velocidade e pelas suas componentes (ou por uma das componentes e a projecção da outra). Podemos então usar o teorema de Pitágoras:

De onde se tira que:

$\vert\vert \vec{v}\vert vert = \sqrt{ (2,24)^2 + (-1,24)^2 } = 2,56 m/s$

Podemos então caracterizar o vector velocidade, em jeito de resposta, por itens:

Ponto de aplicação: centro de massa do corpo.
Direcção: A da recta y = -0,55x.
Sentido: De cima para baixo e da esquerda para a direita.
Intensidade: 2,56 m/s.